制裁促使投资组合份额发生重大变化。值得注意的是，最厌恶风险的投资者将分散所有五种资产，黄金变得更具吸引力，欧元债券由于制裁风险较低而比美国国债更具吸引力，最佳比特币份额升至约 5%。
相比之下，截至 2022 年 9 月，萨尔瓦多的比特币约占其国际储备的 1.4%。
文 | Matthew Ferranti. 原标题：Hedging Sanctions Risk: Cryptocurrency in Central Bank Reserves. 2022/11/17.
接上篇：《对冲制裁风险：央行储备中的加密货币（1-4节）》
* * *
5 储备资产模型
为了解决包括比特币和其他储备资产在内的投资组合优化问题，我需要一种从这些资产未来回报的合理联合分布中生成样本的方法。一个主要的挑战是，比特币的历史回报率很可能严重高估了比特币的前瞻预期回报率。从 2012 年 7 月 1 日到 2022 年 7 月 1 日，比特币的年复合回报率超过 100%。期望如此高的回报无限期地持续下去是不现实的，因为它们并非基于当今存在的加密货币的经济基础。[17] 比特币的高回报率是由早期采用者实现的，他们对实用性和寿命都不清楚的全新的数字货币支付系统进行了高风险投资（包括计算设备和电力）。[18] 如今，加密货币更为主流；没有理由期望比特币的未来回报比对股市的乐观预测高出一个数量级。[19]
任何基于自举法（bootstrapping）、最大似然（maximum likelihood）或矩匹配（moment-matching）的统计技术都会从重现比特币历史回报的比特币回报率分布中得出结论，并可能夸大比特币的未来回报率。因此，我采用贝叶斯方法，在这种方法中，我使用有信息先验（informative prior）将比特币的预期收益调整到更合理的水平。我并不声称对任何资产（包括比特币）的预期回报有特别的了解。我提供了一个在制裁背景下进行投资组合优化的框架，最终用户可以通过对自己的信念进行编码来探索最佳分配。此类信念可能源自经济学原理或投资者可获得的其他背景知识。
尽管 DCC-MGARCH 模型几乎总是通过最大似然技术求解，但有一小部分文献采用类似于本文的贝叶斯方法。Fioruci、Ehlers 和 Louzada (2014) 开发了一个 R 软件包，使用少数偏态和重尾误差分布来估计贝叶斯 DCC-MGARCH 模型。Shiferaw (2019) 使用贝叶斯 DCC-MGARCH 模型研究能源和农产品价格之间的相关性。Tang 和 Aruga (2022) 使用贝叶斯 DCC-MGARCH 模型研究化石燃料、清洁能源股票、黄金和比特币市场之间的关系。
5.1 时间序列模型
该模型结合了 Engle 和 Ng (1993) 的 AGARCH 规范和 Engle (2002) 的 DCC 框架，从而捕捉了金融时间序列的几个重要特征。模型规格概述如下。
5.1.1 单变量方程
在等式 (4) 中，我对每项资产的对数回报率建模。我假设平均回报不随时间变化；因此，我没有捕捉金融数据的低频特征，例如长期均值回归。这种影响很难从日常频率的噪音中辨别出来。
在等式 (5) 中，我将回报的波动性建模为有条件的 Student-t 分布，允许重尾回报率。在估计模型时，我进一步约束 νi > 3，以便误差分布的前三个矩是有限的。虽然有限矩不是贝叶斯推理的先决条件，但它们往往会产生更合理的波动率估计。
在等式 (6) 中，我采用标准 GARCH(1,1) 规范对时变波动率进行建模。GARCH 组件产生重尾收益和波动率聚类。AGARCH δi 项允许不对称的新闻影响效应：负面冲击比正面冲击更能增加波动性。几种不同的潜在规范捕获了这种效果（EGARCH、GJR-GARCH、APARCH），但只有 AGARCH 规范在其整个域上是可微分的，这对贝叶斯采样过程很有帮助。
5.1.2 多元方程
在等式（7）、（8）和（9）中，我分别计算标准化残差、动态条件协方差和动态条件相关性。该模型的 DCC 组件允许相关性以均值回归方式随时间变化，具有高相关性和低相关性的集群周期。
我没有使用多元分布对 GARCH 误差项建模，而是使用 copula 来关联每个资产的单变量边际分布。关于 copula 的理论最初是由 Sklar (1959) 和 Sklar (1973) 提出的，他们证明了任何连续的联合分布都可以通过将其边缘分布（marginal distribution，亦译作边际分布）与唯一的 copula 联系起来来建模。Copula 模型通常用于金融风险管理；Patton (2012) 提供了最近的概述。Copula 方法提供了灵活性，可以分别对边缘分布和它们的相关方式进行建模。有许多 copula 可以产生各种各样的依赖结构。两种流行的 copula 是不具有尾部依赖性的高斯 copula 和 Student-t copula，其中极值的联合概率高于高斯 copula。Nguyen 等 (2020) 发现将 GJR-GARCH 模型应用于一组储备货币和黄金时，Student-t copula 提供了最佳拟合。因此，我使用 Student-t copula，其密度在等式 (10) 中给出。
具体地，t{Rt,λ} 是指具有相关矩阵[20] Rt 和自由度 λ 的多元 Student-t 密度，tλ 是指单变量 Student-t 密度，Tλ^{-1} 是指 逆Student-t分布函数，F (·) 是指每个资产的边缘累积分布（在等式（5）中给出）。
在估计这个模型时，我包括了五种资产：比特币、黄金、2 年期美国国债、2 年期欧元债券（以美元衡量）和全球市值加权股票指数。由于比特币和以太币之间的高度相关性，我没有单独为以太币建模。然而，随后关于比特币的讨论可以推断为比特币、以太币和其他较小的非稳定币加密货币的市值加权投资组合。
在采用动态贝叶斯 copula 方法时，本文与 So 和 Yeung (2014) 的论文关系最为密切，他们也对各种 copula 函数采用动态条件相关方法，使用更细粒度的 藤copula 结构来对每对资产单独一个 copula 函数进行参数估计。然而，So 和 Yeung (2014) 使用最大似然法而非贝叶斯方法来估计他们的模型。在这种情况下，与多变量 copula 相比，藤copula 会引入更多的计算复杂性，而没有太多额外的好处，因为估计的资产类别之间的相关性是中等到低的，并且估计的尾部依赖系数[21]都远低于 0.1。在对类似资产的集合进行建模时，利用 藤copula 的贝叶斯方法更合适，并且通常涉及后验分布的近似值，如在 Kreuzer 和 Czado (2019) 的论文中所述。
由于此模型具有少量资产，因此我避免了 Pakel 等人 (2021) 所描述的维数灾难，那将阻碍贝叶斯方法对大量资产进行建模。具体来说，该模型中的参数数量与资产数量的平方成正比。正如 Arslanalp、Eichengreen 和 Simpson-Bell（2022 年）所记录的那样，尽管在过去二十年中中央银行一直在将其储备从美元和欧元中分散出来，但高质量的美元债券、欧元债券、公共股票、黄金仍占全球储备的 80% 以上。此外，人们可以通过形成国债和股票的线性组合来近似许多其他资产的表现，例如公司债券。因此，该模型捕获了中央银行可用的一组投资选项。
5.2 先验
我对波动率和相关性过程使用无信息先验（uninformative priors），假设这些资产之间的历史波动率关系代表未来。
但是，我为资产的平均回报率设置了信息先验。我在选择比特币之前考虑了几个因素。如第 4 节所述，比特币是一种有限供应的实物资产，因此其长期回报率应该与通货膨胀率相关。但与黄金不同的是，从长远来看，比特币的有效供应量只会减少，因为当所有者丢失、忘记或丢弃他们的私钥时，比特币可能会永久无法访问。区块链分析公司 Chainalysis 发现，截至 2020 年 6 月，约有 20% 的比特币在 5 年多的时间里没有被触及。[22] 从长远来看，每年可能会有 1% 的比特币“丢失”，从而将比特币的预期回报率推高至 1% 高于通货膨胀。从另一个角度来看，Makarov 和 Schoar (2020) 表明，每日比特币交易量解释了比特币价格高达 85% 的变化，这表明比特币的长期回报率可能与财富创造的毛利率挂钩。根据 Woetzel 等人 (2021) 的说法，从长远来看，财富在 GDP 中所占的份额往往保持不变，尽管截至 2020 年，财富的增长速度略快于 21 世纪的 GDP（增长）。如果长期实际 GDP 增长率平均为 2%，那么比特币的长期回报率可能相似。对这两种方法进行平均，我将比特币的平均先验回报率设定为比黄金高 1.5%（即比 2 年预期通胀高 1.5%）。[23]
我将国债和欧元债券的预期回报率设定为截至 2022 年 9 月 16 日的当前收益率（假设欧元债券的预期收益率为无担保利率平价），我将黄金的预期回报率设定为 2 年预期通货膨胀率。根据 Asness (2021) 的论文，他发现美国和发达国家股票的预期回报率在调整估值变化后比现金高出约 5%，我将全球股票的预期回报率设定为比美国国债高出 5%。表 2 包含先验列表以及对每个先验的解释。
表 2：模型参数先验
5.3 数据
我从 investing.com 获取比特币和黄金的每工作日的历史收盘价格，从圣路易斯联邦储备银行获取 2 年期美国国债收益率，从欧洲中央银行获取 2 年期欧元债券收益率。对于全球股票，我获得了 Vanguard Total World Stock Index ETF 的每日回报，根据股息进行调整，跟踪富时全球全盘指数（FTSE Global All Cap Index）。
与比特币的现代历史相比，比特币的早期历史 —— 当它被更多地视为科学实验而非合法资产类别时 —— 可能对比特币未来回报的信息较少。此外，比特币与股市之间的相关性从 2020 年 3 月开始急剧上升，如图 6 所示。因为我想捕捉到这种更高的相关性，所以我从 2020 年 3 月 1 日开始我的样本，一直持续到 2022 年 7 月 22 日。
图 6：比特币与富时全球全盘股票指数之间的估计滚动相关性。
5.4 计算
我使用 Carpenter 等人 (2017) 开发的贝叶斯建模软件 Stan 从参数集 的后验分布中采样。Stan 实现了一个 No-U-Turn 采样器，它是 Hamiltonian Monte Carlo 的一个变体。运行采样器时，我使用 6 个链，每个链有 1084 个样本，包括我丢弃的每个链 250 个预热迭代。图 7 显示了比特币和黄金的平均回报参数的热力图。
为了加快这个模型的计算速度，我实现了对 逆Student-t分布 的近似，它必须作为多变量的一部分多次计算等式 (10) 中的 Student-t copula。使用求根程序 —— 例如使用逆正则化 beta 函数 —— 计算 逆Student-t分布 大约慢 2 到 3 倍。该近似值结合了两个幂级数，对于所有自由度和 0.00001 到 0.99999 之间的所有分位数，实现的最大误差为 0.15%。可以在附录 C 中找到对近似值的描述。
图 7：比特币和黄金的后验平均收益参数热力图。
资产 i 的无条件标准差由下式给出：
对于从模型后验中提取的每个图，我计算无条件标准差，并将结果分布与样本标准差进行比较。图 8 显示了比特币和黄金的结果。后验无条件标准差是重尾的，尤其是比特币。
图 8：与样本标准差（红线）相比，比特币和黄金的后验长期标准差热图。
图 9 显示了比特币的自由度参数（控制其边际分布的重尾行为的程度）与比特币的长期波动率之间的关系。后验分布的新月状形状表明了比特币风险特别高的样本（低自由度，高标准差）和比特币风险较低的样本（高自由度，低标准差）两者之间的关系。
最后，检查 S 的分布（资产之间的长期相关性）是有益的。表3 显示，比特币与所有储备资产大多不相关，除了股票市场，比特币与股票市场呈中度正相关。
图 9：与比特币的后验长期标准差相比，比特币后验自由度的热图。样本标准偏差绘制为红线。
表 3：中位数后验长期相关性
6 模型验证
Gelman 等人 (2013) 将后验预测检查（posterior predictive checks）描述为通过模拟后验分布的抽取并将这些抽取与观察到的数据进行比较来验证贝叶斯模型的一种方法。因为我在模拟的 3 个月周期进行了投资组合选择优化，所以我根据后验分布模拟了 3 个月（63 个交易日）的回报率，并以各种方式将模拟与数据的 3 个月滚动周期进行了比较。
随后的部分说明了比特币的几个后验预测检查。模型中其他资产的检查将在在线附录中提供。总体而言，该模型捕捉了比特币在 3 个月周期的特征。
6.1 总回报
图 10 表明模拟回报率比样本中滚动的 3 个月周期要悲观得多。这是信息先验的预期结果。
图 10：模型模拟的总回报与数据中 3 个月滚动周期的总回报的比较。
6.2 相关性
图 11 和图 12 将比特币与其他资产之间的模拟相关性与数据中的 3 个月滚动周期进行了比较。在所有情况下，模拟都与数据高度一致。其他比较可以在附录中找到。
图 11：从模型模拟中比较比特币和黄金之间的相关性，以及数据的 3 个月滚动周期中相同的相关性。
图 12：从模型模拟中比较比特币与全球股票之间的相关性，以及数据的 3 个月滚动周期中相同的相关性。
6.3 标准差
图 13 显示，模拟中比特币对数回报的标准差与样本中的滚动周期非常吻合。模拟的标准差有一条长长的右尾。
图 13：比特币与模型模拟的标准差比较，以及数据的 3 个月滚动周期中相同的标准差。
6.4 偏度
图 14 表明比特币模拟中的偏度以零为中心，因为误差项的 Student-t 分布是对称的。与样本相比，模拟将较少的质量分配给偏度分布的左尾。
虽然 GARCH 模型通常使用误差项的偏态分布进行估计，但对于平均回报的先验信息，这样做是不切实际的。如果平均回报是时间不变的，那么偏态分布的位置参数必须在每个时间段都作为偏度和方差的函数移动，这在计算上是不可行的。在我的模型中，尽管对数回报是不偏斜的，但总回报是正偏的（由于指数转换），这与 Farago 和 Hjalmarsson (2019) 的发现一致。
图 14：比较模型模拟中比特币的偏度，以及数据的 3 个月滚动周期中相同的偏度。
6.5 超额峰度
图 15 显示模拟略微低估了比特币的峰度（相比之下，模拟略微高估了标准差，如图 13 所示）。随着比特币被更广泛地采用，比特币带来的极端尾部风险可能会随着时间的推移逐渐下降，因此样本峰度夸大了今天衡量的比特币尾部风险。
图 15：比较来自模型模拟的比特币超额峰度，以及来自数据的 3 个月滚动周期中相同的超额峰度。
7 优化投资组合选择
根据《国际货币基金组织外汇储备管理指南》(2005)，中央银行倾向于每季度审查其储备绩效。因此，我从统计模型中模拟了季度收益（63 个交易日）。我假设没有杠杆作用，也没有做空。
从动态贝叶斯模型中提取 250,000 次模拟后，我采用了拒绝抽样程序，旨在确保样本合理且投资组合优化过程在数值上是稳定的。我的 GARCH 模型中使用的重尾分布很可能与资产长期方差的不确定性相结合，夸大了分布远尾的概率质量。此外，我的模型没有捕获可能减少方差的低频均值回归。为了纠正这种错误指定，我计算每个季度样本的每个资产的总回报，如果任何资产的相应累积对数回报超出区间 (63 ∗ Eμi − log(k), 63 ∗ Eμi + log(k))，我就拒绝该样本。我通过计算数据中所有 3 个月滚动周期的最大收益或损失的平方来计算区间宽度 k。例如，如果比特币在样本中跨滚动周期的最佳表现是 4 倍的回报，而其最差表现是 0.5 倍的回报，我设置 k = max(4, 1/0.5)^2 = 16。这种拒绝抽样导致丢弃不到 0.5% 的模拟数据，但确保了所有接受的样本在经济上是合理的并且样本方差在数值上是稳定的。此外，该程序保留了接受样本中的回报率动态结构以及平均复合回报率。
投资组合优化过程仅考虑储备资产的财务特征。当然，中央银行在分配其投资组合时还面临许多其他考虑因素。特别是，中央银行可能更愿意将其储备货币构成与其进口货币构成、外债和货币挂钩（如果有）保持一致。将储备资产的货币构成与消费的货币构成相匹配，可以最大限度地减少以消费单位衡量的可变性。我通过对一些优化——详情如下，包括金融制裁的风险——实施约束来针对这些因素（这些因素对我的模型来说是外生的）。这些限制对应于全球平均储备份额。以固定比例持有传统储备资产也可以解释为强制实现交易成本最小化的愿望，尤其是在比特币和实物黄金等成本较高的交易方面。就优化程序的输入来自贝叶斯统计分析而言，这种方法类似于 Black 和 Litterman (1992) 的方法，他们在贝叶斯设置中采用了 Markowitz (1952) 的经典均值-方差框架。此外，我的均值-方差方法类似于 Papaioannou、Portes 和 Sioourounis (2006) 的方法，他们使用均值-方差框架来估计欧元储备的最佳份额。
在为制裁建模时，我将制裁概率视为相对于中央银行决策的外生因素。我不知道有任何情况表明中央银行的行动为第三方冻结中央银行储备提供了主要动力。相反，制裁是中央银行以外的领导人做出的政治决定的结果，而中央银行可能不会提前通知这些决定。我假设美国和欧盟可能分别选择对央行实施制裁，导致央行的美国国债或欧元债券全部损失，但央行的黄金和加密货币未受影响。[24] 我假设美国的制裁导致全球股票持仓价值损失 2/3，而欧盟制裁导致损失 1/3（如果美国和欧盟同时实施制裁，则会发生全部损失）。在我的基线情况中，美国制裁的概率是1/100，欧盟制裁的概率是1/200，两者的相关系数是0.4。我使用高斯 copula 实现制裁概率之间的相关性。我通过改变这些参数进行敏感性分析，如表 4 所示。
表 4：带有制裁的投资组合优化方案
为了实现均值-方差偏好，我求解以下优化问题，其中 ψ 是风险规避程度：
xi 是第 i 次模拟产生的几何回报，0 ≤ Ωk ≤ 1 是对资产 k 的制裁程度的指标：
此优化过程的两个方面值得注意。首先，我假设中央银行不会在本季度内重新平衡交叉资产。Chinn、Ito 和 McCauley (2021) 发现了关于中央银行是否重新平衡的混合证据。通过假设没有再平衡，我避免了考虑实物黄金和比特币交易成本的必要性，它们可能比法定资产交易成本高得多。此外，在没有重新平衡的情况下，季度内制裁的时间不会影响最终的投资组合价值，从而简化了优化程序。
其次，我使用几何回报（geometric return）而不是预期回报来操作。几何回报是衡量较长时间段（例如 63 个交易日）表现的最佳指标，因为几何回报考虑了波动率衰减。正如 Hughson、Stutzer 和 Yung (2006) 指出的那样，高度波动资产的预期回报远高于其复合回报，因为经历了一系列等百分比收益和损失的资产不会回到其初始值。在对比特币进行建模时，考虑适当时间范围内的波动率衰减尤为重要，在波动率衰减的影响不太明显的较短持有期内，比特币将显得更具吸引力。计算 63 个交易日的几何回报产生的结果类似于我使用连续复合对数回报优化获得的结果，这是 Zhang (2021) 探索的一个过程。
7.1 无制裁
图 16 显示了没有制裁的最佳份额。结果表明，随着投资者变得更加厌恶风险，投资者会将越来越多的安全资产（国债）与一组风险资产（股票和加密货币）混合在一起。投资者不持有欧元债券，因为汇率风险得不到补偿，同样，只要国债的实际回报率为正，黄金就不会特别有吸引力。即使是最厌恶风险的投资者也持有 2-3% 的比特币。[25]
图 16：具有均值方差偏好的最优资产份额。
7.2 有制裁，变动所有份额
图 17 显示了均值-方差框架和基本制裁案例中的最佳比特币份额。制裁促使投资组合份额发生重大变化。值得注意的是，最厌恶风险的投资者将分散所有五种资产，黄金变得更具吸引力，欧元债券由于制裁风险较低而比美国国债更具吸引力，最佳比特币份额升至约 5%。
图 17：具有均值方差偏好和制裁的最优资产份额。
7.3 有制裁，仅变动比特币份额
图 17 中建议的分配对于某些无法获取或存储如此大量实物黄金的中央银行而言可能不可行。[26] 此外，如前所述，中央银行可能更愿意（在可能的范围内）将其货币构成与其进口和外债的货币构成相匹配。因此，我重复投资组合优化，但仅变动比特币的份额，并假设投资组合的其余部分由 12% 的黄金、51% 的美国国债、17% 的欧元债券和 20% 的全球股票组成。这些百分比大致相当于全球平均水平。因此，该分析解决了一个代表性中央银行可能希望在其现有储备持有量中增加多少比特币以解决其制裁风险的问题，同时又不从根本上改变其现有持有量。
图 18 和 19 显示了仅变动比特币份额时的结果。在这种情况下，央行将持有大量比特币以对冲制裁，尤其是在美国和欧盟制裁高度相关的情况下。
图 18：具有均值方差偏好和制裁的最优比特币份额，仅变动比特币。
图 19：具有均值方差偏好和制裁的最优比特币份额，仅变动比特币。
7.4 有制裁，变动黄金和比特币的份额
为了探索黄金和比特币在多大程度上作为对冲制裁风险的替代品，我变动了黄金和比特币的份额，并假设投资组合的其余部分分配给美国国债 58%，欧元债券 19%，以及 23% 的全球股票（近似于全球平均水平）。
图 20 和 21 显示了结果。尽管与没有制裁的情况相比，央行持有更多的比特币，但黄金是对冲制裁风险的首选资产。具体而言，国际制裁的风险使持有黄金变得合理，即使美国国债的波动性较小且实际回报为正。此外，在风险最低的情况下，最佳黄金份额随着风险规避而上升。
图 20：具有均值方差偏好和制裁的最优黄金份额，变动黄金和比特币。
图 21：具有均值方差偏好和制裁的最优比特币份额，变动黄金和比特币。
（未完待续）
注：
17 预期收益率随着资产价格上涨而下降的概念在股票市场的背景下得到了很好的证明。例如，一只股票在进入美国前 10 大股票名单后，其 10 年预期回报率比市场回报率低 1.5%。请参阅：https://www.dimensional.com/us-en/insights/large-and-in-charge-giant-firms-atop-market-is-nothing-new
18 为了强调对比特币进行早期投资的风险，请考虑当今几乎一文不值的数千种加密货币。
19 高实现回报率和预期回报率下降的结合可以解释为与比特币相关的罕见灾难风险下降，这是由于比特币的采用率不断提高和哈希率不断提高，这两者都降低了突然崩溃或成功攻击的可能性。
20 形式上，相关矩阵由 λ/(λ-2) * R_t 给出，但如 Demarta 和 McNeil（2005 年）所述，Student-t copula 对于其组件的严格递增变换是不变的。因此，如果 λ > 2，Student-t 离散矩阵可以解释为相关矩阵。
21 衡量一种资产的回报超过特定分位数的概率，条件是另一种资产超过同一分位数，因为分位数接近 1 或 0。尾部相关系数在 0 和 1 之间变化；对于高斯 copula，尾部相关性等于 0。
22 https://blog.chainalysis.com/reports/bitcoin-market-data-exchanges-trading/
23 将比特币的预期回报设置为高于黄金表明比特币的风险溢价高于黄金，这似乎是合理的，因为比特币的波动性远高于黄金，而比特币的波动性显然无法分散。事实上，Liu 和 Tsyvinski (2018) 发现，加密货币的表现并不能用常见的宏观经济风险因素来解释。
24 在假设黄金不受制裁影响的情况下，我隐含地假设中央银行保留对其黄金的实物保管，而不是将其黄金存放在纽约联储金库等第三方保管机构中。我没有考虑运输或储存黄金的成本。
25 相比之下，截至 2022 年 9 月，萨尔瓦多的比特币约占其国际储备的 1.4%。
26 每年开采的黄金价值约为 1500 亿美元，即 3000 公吨。
公众号：刘教链